X
تبلیغات
ریاضیات زبان طبیعت - اعداد اول

 

بعد از دوران يونان باستان، نظريه اعداد در سده شانزدهم و هفدهم با زحمات ويت دو مزيرياک ، دوباره مورد توجه قرار گرفت. در قرن هجدهم اويلر و لاگرانژ به قضيه پرداختند و در همين مواقع لوژاندرو گاوس به آن تعبير علمي بخشيدند. در ۱۸۰۱ گاوس در مقاله Disquisitiones Arithmeticæ حساب نظريه اعداد مدرن را پايه گذاري کرد.

چبيشف کران‌هايي براي تعداد اعداد اول بين يک بازه ارائه داد. ريمان اظهار کرد که حد تعداد اعداد اول از يک عدد داده شده تجاوز نمي‌کند. (قضيه عدد اول) و آناليز مختلط را در تئوري تابع زتاي ريمان گنجاند. و فرمول صريح تئوري اعداد اول را از صفرهاي آن نتيجه گرفت. تئوري همنهشتي از گاوس شروع شد. او علامت‌گذاري زير را پيشنهاد کرد:

چبيشف در سال ۱۸۴۷ به زبان روسي کاري را در اين زمينه منتشر کرد و سره  آن را در فرانسه عمومي کرد. بجاي خلاصه کردن کارهاي قبلي، لوژاندر قانون تقابل درجهٔ دوم را گذاشت. اين قانون از استقراء کشف شد و قبلاً اويلر آن را مطرح کرده بود. لوژاندر در کتاب تئوري اعداد  براي حالت‌هاي خاص آن را ثابت کرد. جدا از کارهاي اويلر و لوژاندر، گاوس اين قانون را در سال ۱۷۹۵ کشف کرد و اولين کسي بود که يک اثبات کلي ارائه داد. کوشي ؛ ديريشله او يک مقاله کلاسيک است؛ جکوبي که علامت جکوبي را معرفي کرد؛ ليوويل ؛ زلر ؛ آيزنشتين ؛ کومر و کرونکر نيز در اين زمينه کارهايي کرده‌اند. اين تئوري تقابل درجه دوم و سوم را شامل مي‌شود (گاوس؛ جکوبي که اولين بار قانون تقابل درجه سوم را ثابت کرد ؛ و کومر).

نمايش اعداد با صورت درجه دوم دوتايي مديون گاوس است. کوشي، پوانسو لوبکو بخصوص هرميت به موضوع چيزهايي افزوده اند. آيزنشتاين در تئوري صورت‌هاي سه‌گانه پيشتاز است، و تئوري فرم‌ها به طور کلی مدیون او و اچ. اسمیت است. اسمیت دسته بندی کاملی از صورتهای سه گانه انجام داد و تحقیقات گاوس در مورد صورت‌های درجه دوم حقیقی به فرمهای مختلط افزود. جستجوهایی در مورد نمایش اعداد به صورت جمع ۴، ۵، ۶، ۷، ۸ مربع توسط آیزنشتاین ادامه یافت و اسمیت آن را کامل کرد.

دیریشله اولین کسی بود که در یک دانشگاه آلمانی در این مورد سخنرانی کرد. او در مورد بسط قضیه اویلر که مي گويد:

 


که اویلر و لوژاندر برای 04 3 = n آن را ثابت کردند و دیریشله نشان داد که: z5 y5 x5 +.

بین نویسندگان فرانسوی بورل و پوانکاره ذهن قوی داشتند و تانری و استیلجزکرونکر، کومر، شرینگ ، باخمن و ددکیند آلمانی‌های پیشتاز هستند. در اتریش مقاله استلز   و در انگلستان تئوری اعداد ماتیو (قسمت اول، 1892) جزو کارهای عمومی دانشگاهی هستند. جنوچی، سیلوستر و جی. گلیشرr به این تئوری چیزهایی افزوده‌اند .

اعداد اول اعداد بسيار زيبا و جذابند و در عين حال معماي حيرت انگيز و سرگردان‌كننده اي را در برابر رياضي دانان مطرح ساخته اند. تعريف اين اعداد كاملا ساده است، رفتار آنها در سلسله اعداد و نحوه ظاهر شدنشان در آن كاملابي‌نظم و فاقد قاعده به نظر مي‌آيد و هرچه شمار بيشتري از آنها شكارمي‌شوند، كار شكار عدد بعدي دشوارترمي‌شود طي قرنهاي متمادي رياضي دانان در شرق و غرب عالم به جستجوي راههايي براي دستيابي به اعداد اول برخاسته‌اند و با اين همه بهترين روشهايي كه تا بحال در اين زمينه ابداع شده چنان كند است كه حتي پر سرعت‌ترين كامپيوتر هاي كنوني نيز نمي‌توانند كمك چنداني در شكار اين اعداد شگفت انگيز كنند. بطوريكه اگر چندين ميليون بار به سرعت كامپيوتر هاي كنوني افزوده شود، تنها چند رقم به شماره ارقام بزرگترين عدد اولي كه تا به حال شناخته شده افزوده مي‌گردد. رياضي دانان در آرزوي دست يافته به روشي هستند كه با استفاده از آن بتوانند با سرعت به يافتن اعداد اول توفيق يابند و يا اگر با عددي هر اندازه پر رقم و بزرگ روبرو شدند بتوانند با سرعت مشخص سازند كه آيا عدد اول است ؟ يك گروه از رياضي دانان هندي مدعي شده‌اند كه در آستانه دستيابي به همان آزموني هستند كه رياضي دانان قرنها مشتاقانه در آرزويش بوده اند. مانيندرا اگراوال ‪ ,Manindra Agrawalو دانشجويانش نيراج كايال‪Neeraj ‪Kayalو نيتين سكسنا ‪ Nitin Saxenaدر موسسه تكنولوژي كانپور مدعي شده‌اند كه در آستانه تكميل آزموني هستند كه اول بودن يا نبودن هر عدد طبيعي را با سرعت مشخص مي‌كند. اين آزمون در صورتي كه تكميل شود مي‌تواند تبعات و نتايج بسيار گسترده‌اي براي جهان كنوني به بار آورد  در سال ‪ ۲۰۰۱دو تن از دانشجويان او يعني كايال و سكسنا به يك نكته بسيار حساس و فني توجه كردند. ابتدا اين مساله سبب شد تا گروه سه نفره در آبهاي عميق نظريه اعداد غوطه ور شوند، اما اندك اندك برايشان روشن شد كه تنها يك مانع در راه تكميل روشي جهت آزمودن دقيق و سريع اعداد اول وجود دارد. مانع از اين قرار بود كه روش آنان تنها در صورتي كار مي‌كرد كه عدد اول مورد نظر كه با ‪ pنمايش داده مي‌شود همواره در محدوده خاصي جاي داشته باشد كه با اعدادي كه در آزمون شركت داده مي‌شوند مرتبط باشد. مشخصه ويژه اين مانع آن است كه عدد " ‪ p-1 " بايد يك مقسوم عليه يا بخشياب بسيار بزرگ باشد. گروه سه نفر رياضي دانان هندي براي غلبه بر مشكل به هر دري زدند و با بررسي مقالات مختلف بالاخره دريافتند كه در سال ‪ ۱۹۸۵يك رياضي‌دان فرانسوي به نام اتن فووري از دانشگاه پاريس ‪ ۱۱اين نكته را به صورت رياضي اثبات كرده است. به اين ترتيب آخرين بخش معما حل شد و آلگوريتم پيشنهادي اين سه نفر با موفقيت پا به عرصه گذارد. اما اين موفقيت "مشروط" بود. به اين معني كه اين روش براي اعداد اولي كه انسان در حال حاضر مي‌توان به سراغ آنها برود از كارآيي چنداني برخوردار نيست. در روايت اوليه روش پيشنهادي، زمان لازم براي محاسبات كه متناسب با ارقام عدد اول مورد نظر بود، با آهنگ ‪ ۱۰۱۲ازدياد پيدا مي كرد. در روايتهاي بهبود يافته اخير اين روش، سرعت ازدياد زمان لازم براي محاسبات به ‪ ۱۰۷.۵كاهش يافته اما حتي در اين حالت نيز اين روش در مقايسه با روش آ پي آر تنها در هنگامي موثر تر خواهد بود كه تعداد ارقام عدد اولي كه قصد شكار و يافتن آن را داريم در حدود ‪ ۱۰۱۰۰۰باشد.

درحال حاضر بسياري از معاملات تجاري و نقل و انتقالات مالي و نيز مبادله اطلاعات محرمانه از طريق شبكه هاي مخابراتي مانند اينترنت و با بهره گيري از رمز كردن پيامها به انجام مي‌رسد. اعداد اول در تنظيم اين قبيل رمزها نقشي اساسي بر عهده دارند و از همين رو دستيابي به اعداد اول جديد كه ديگران از آن بي‌خبر باشند براي سازندگان اين رمزها و نيز مشتريان آنان از اهميت زياد برخوردار است. اما اگر روش اين محققان هندي تكميل شود در آن صورت امنيت اين قبيل نقل و انتقالات در معرض خطر جدي قرار خواهد گرفت. سابقه قرار گرفتن رياضي دانان تحت جاذبه اعداد اول به قرنها پيش باز مي گردد. در سال ‪ ۱۸۰۱كارل گائوس از بزرگترين رياضي دانان اعلام كرد كه مساله تشخيص اعداد اول از اعداد غير اول يكي از مهمترين مسائل حساب به شمار مي‌آيد. اعداد اول به يك معنا همان نقشي را در سلسله اعداد بازي مي‌كنند كه اتمها در ساختار بناي كيهان دارند- اين اعداد سنگ بناي ناپيداي ديگر اعداد محسوب مي‌شوند. يكي از عادي‌ترين راههاي شناسايي اعداد اول تقسيم آن به ديگر اعداد است. از طرف ديگر با اندكي تامل روشن مي‌شود كه اعداد زوج عدد اول نيستند زيرا همگي بر ‪ ۲قابل قسمتند. اعدادي كه بتوان جذر آنها را به دست آورد نيز اول نيستند. اما اين روشها براي شناسايي اعداد اول بزرگ به كلي بي‌فايده‌اند. به عنوان مثال اگر عدد اولي داراي ‪ ۱۰۰رقم باشد در آن صورت كل عمر باقيمانده از كيهان بر اساس نظريه هاي جديد كيهانشناسي نيز براي مشخص كردن اول بودن يا نبودن اين عدد با اين شيوه هاي متعارف كفايت نمي‌كند. بنابراين رياضي دانان به سراغ روشهاي ديگر رفته‌اند. مهمترين سوال در مورد همه اين روشها آن است كه با چه سرعتي مي‌توانند يك عدد اول را مشخص كنند و با ازدياد ارقام عدد اول زمان لازم براي محاسبه چه اندازه طولاني تر مي شود. اگر به عنوان مثال زمان محاسبه به توان ثابتي از شمار ارقام عدد ازدياد يابد در آن صورت اين روش روش قابل قبولي به شمار آورده مي‌شود . به اين نوع روشها كه زمان به صورت تواني در آنها افزوده مي‌شود "روشهاي تواني" مي‌گويندروشهاي ديگر كه زمان در آنها با سرعت بيشتري افزايش مي‌يابد روشهاي غيرتواني نام دارند. به عنوان مثال روش تقسيم معمولي يك روش غيرتواني براي يافتن اعداد اول است. در اين روش زمان لازم براي تعيين اول بودن يك عدد با ‪ dرقم، برابر با ‪ /۱۰d/2اين نوع روشها بسيار نامناسبند.   اعداد اول يكي از اساسي ترين چيز ها در رياضيات هستند. آنها پس از قرن ها مطالعه هنوز داراي رموز بسياري اند. ساختار مجموعه اعداد اول هنوز به درستي شناخته شده نيست. توضيح چگونگي توزيع آنها در قلب رياضيات قرار دارد و نقش هاي مهمي براي مثال در زمينه رمز گشايي دارند. براي مطالعه در مورد اعداد اول محققين چيزي كه به نام لنز رياضياتي معروف است را توسعه داده اند كه به آنها اجازه مي دهد تا در منظره هاي خاصي از اعداد اول فوكوس كنند.
     به تازگي دو رياضيدان به نام هاي جان فريدلندر از دانشگاه تورونتو و هنريك ايوانيچ از دانشگاه روتگرز نيوجرسي دنياي رياضيات را با خبر ساختن لنز جديدي براي پالودن هرچه بيشتر اعداد اول متحير ساختند. كار آنها مخصوصا از اين لحاظ شگفت انگيز است كه مسئله مهمي در رياضيات كه پيشرفتي در آن در صد سال اخير رخ نداده را حل مي كند.

     اهميت كار فريدلندر و ايوانيچ را در تاريخچه آن مي توان ديد. اقليدس اولين كسي بود كه نشان داد بينهايت عدد اول در بين اعداد صحيح وجود دارد. مدت ها بعد در سال 1837 گوستاو لجن ديريكله نشان داد كه اگر aو dنسبت به هم اول باشند در تصاعد حسابي a, a+d, a+2d, a+3d,…بي نهايت عدد اول وجود دارد.

با توجه به كارهاي ديريكله دو سؤال به ذهن مي رسد:

"در چه دنباله هاي ديگري از اعداد مي توان بي نهايت عدد اول يافت؟"
كسي مي تواند چند وقت به چند وقت ظاهر شدن  اعداد اول در اين دنباله ها را تعيين كند؟"
     تكنيك هايي كه در دهه 1890 اختراع شد به رياضيدانان اجازه مي داد تا تقريب خوبي در مورد چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول در اعداد صحيح و همچنين دنباله هايي كه ديريكله بررسي نمود بدست آورند. اعداد طبیعی به چند عدد نخست مجموعه اعداد اول

  • بخش‌پذیری بر 2: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 2 بخش‌پذیر باشد، آن است که رقم یکان آن زوج باشد مانند 30 ، 1996 ، 204.
  • بخش‌پذیری بر 3: شرط لازم برای آن که عددی بر 3 بخش‌پذیر باشد آن است که مجموع ارقام آن عدد بر 3 بخش پذیر باشد. مانند 192 (زیرا مجموع ارقام آنها برابر 12 می‌باشد).
  • بخش‌پذیری بر 5: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 5 بخش‌پذیر باشد آن است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد، مانند 205 ، 410.
  • بخش‌پذیری بر 7: عددی بر 7 بخش‌پذیر است که اگر رقم اول سمت چپ آن را در 3 ضرب کرده و با رقم دوم سمت چپ جمع کنیم وحاصل را بر 7 تقسیم کنیم، سپس باقیمانده تقسیم را دوباره در 2 ضرب کرده و با رقم سوم از سمت چپ جمع و حاصل را بر 7 تقسیم کنیم و همین عملها را تا آخرین رقم ادامه دهیم، در پایان باقیمانده بر 7 تقسیم بر 7 برابر با صفر باشد.
  • بخش‌پذیری بر 11: عددی بر 11 بخش‌پذیر است که اختلاف مجموع ارقام مرتبه زوج (یکان ، صدگان ، ده هزارگان و ... ) با مجموع ارقام مرتبه فرد (دهگان ، هزارگان ، صدگان و ...) بر 11 بخش‌پذیر باشد.

در حالت m

عددی مانند m اول است اگر و تنها اگر m بر هیچ کدام از اعداد اول تابیشتر از جذر m بخش‌پذیر نباشد. برای تجزیه یک عدد به حاصلضرب عاملهای اول ، آن را به کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش‌پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و خارج قسمت را نیز بر کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و این کار را تاجایی ادامه می‌دهیم که خارج قسمت یک باشد. در این صورت حاصلضرب مقسوم علیه‌ها ، حاصلضرب عاملهای اول عدد مورد نظر خواهد بود. مانند 45 = 22 + 32

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b عبارت است از کوچکترین عددی که بر هم بر a و هم بر b بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد b,a (ک.م.م) که آن را به صورت a,b نمایش می‌دهیم، ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم. سپس کوچکترین مضرب مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک و غیر مشترک با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ک.م.م دو عدد 36 و45 برابر است با 22X32X5 یعنی 180 خواهد بود.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b عبارت است از بزرگترین عددی که هم a و هم b بر آن بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد b,a را به حاصلضرب (ب.م.م) که آن را به صورت (a,b) نمایش می‌دهیم؛ ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم، سپس بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک دو عدد a و b با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ب.م.م دو عدد 45 و 36 برابر با 32 یعنی 9 می‌باشد.

دو عدد متباین

دو عدد را نسبت به هم اول یا متباین گویند هر گاه ب.م.م آن دو عدد برابر با 1 باشد. برای مثال دو عدد 8 و 9 نسبت به هم اول هستند، زیرا 1=(9 و 8). بزرگترین مقسوم علیه مشترک n عدد نیز به همین صورت تعریف می‌شود. باید توجه داشت که در این حالت منظور از عاملهای مشترک ، اعداد اولی هستند که در تجزیه تمامی n عدد مشترک می‌باشد. برای هر دو عدد طبیعی a,b تساوی (a ,b).a,b=ab برقرار می‌باشد.

تعداد مقسوم علیه های مثبت یک عدد

در حالت کلی اگر عدد تجزیه به عوامل a به صورت P2α2X PnαnXP1α1 باشد، که در آن P1 ، Pn ، ... ، P2 اعداد اول متمایز می باشند، برای نوشتن یک مقسوم علیه از a می‌توانیم از عاملهای P1 به تعداد 0 و1 و......و α1 و از عاملهای P2 به تعداد 0 و 1و......و α2 و.... و بالاخره از عاملهای P1 به تعداد 0 و 1 و ... αn انتخاب کنیم که طبق اصل ضرب این عدد به تعداد (α1+1)X(α2+1)….(αn+1) مقسوم علیه خواهد داشت.

اصل ضرب

اگر از A1 به m1 ، A2 مسیر ، از A2 به m2 ، A3 مسیر و ... و از An به mn ، An+1 مسیر مستقل موجود باشد، آنگاه برای اینکه از A1 به An+1 برسیم، m1Xm2X...Xmn مسیر وجود خواهد داشت.

جذر

جذر یک عدد یعنی پیدا کردن ریشه آن عدد است. جذر nm برابر است با ریشه دومبه عدد صحیح بزرگتر از یک عدد اول گفته می‌شود اگر تنها مقسوم علیه (فاکتور) آن یک و خود آن عدد باشد. برای مثال مقسوم علیه‌های اول عدد ۱۰ اعداد ۲ و ۵ هستند. و شش عدد اول نخست ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱و ۱۳ هستند.

قضیه اساسی حساب (Fundamantal Theorem of Arithmethic) نشان می‌دهد که اعداد اول قالب‌هایی منحصر به فرد برای اعداد صحیح مثبت ایجاد می‌کنند: هر عدد صحیح مثبت از حاصل ضرب یک سری و فقط از اعداد اول ایجاد می‌شود (ترتیب مقسوم علیه‌ها را در نظر نمی‌گیریم.) این کلید نشان دهنده آن است که مقسوم علیه‌های اول هر عدد می‌توانند نماینده آن عدد باشند.

یونانیان باستان در قرن ۳ قبل از میلاد ثابت کردند که بینهایت عدد اول وجود دارد که به صورت نامنظم در بین اعداد صحیح پخش شده‌اند. از طرفی در قرن نوزدهم نشان داده شد که تعداد اعداد اول کمتر یا مساوی عدد n به عدد n/logn میل می‌کند (وقتی n بسیار بزرگ شود). پس n/logn حدس خوبی برای nامین عدد اول است.

غربال اراتستن(Sieve of Eratosthenes) هنوز هم مناسب ترین راه برای یافتن اعداد اول کوچک(مثلاً کمتر از ۱۰۰۰۰۰) است.گرچه بیشتر اعداد اول بزرگ با قسمت‌های خاصی از قضیه لاگرانژ(Lagrange's Theorem) یافت می‌شوند

بزرگترین اعداد اول معمولاً از اعداد مرسن (Mersenne prime) بوده‌اند. چرا مرسن؟ زیرا روشی که اول بودن عدد بزرگ N در آن بررسی می‌شود به فاکتورگیری از N+۱ و N-۱ بستگی دارد و برای اعداد مرسن فاکتورگیری از N+۱ کار ساده‌ای است زیرا این عدد توانی از ۲ استده عدد اول مرسن نخست شناخته شده

اعداد اول مرسن به شکل ۲p-۱ هستند. آنها ساده‌ترین اعداد برای بررسی اول بودن آنها در رایانه‌های دودویی هستند و درنتیجه معمولاً بزرگترین اعداد اول شناخته شده از این نوع هستند. GIMPS دائماً در حال کشف این هیولاهاست.

---ردیف---

---عدد اول---

---تعداد ارقام---

---تاریخ کشف---

۱

۲۳۲۵۸۲۶۵۷

۹۸۰۸۳۵۸

۲۰۰۶

۲

۲۳۰۴۰۲۴۵۷

۹۱۵۲۰۵۲

۲۰۰۵

۳

۲۲۵۹۶۴۹۵۱

۷۸۱۶۲۳۰

۲۰۰۵

۴

۲۲۴۰۳۶۵۸۳

۷۲۳۵۷۳۳

۲۰۰۴

۵

۲۲۰۹۹۶۰۱۱

۶۳۲۰۴۳۰

۲۰۰۳

۶

۲۱۳۴۶۶۹۱۷

۴۰۵۳۹۴۶

۲۰۰۱

۷

۲۶۹۷۲۵۹۳

۲۰۹۸۹۶۰

۱۹۹۹

۸

۲۳۰۲۱۳۷۷

۹۰۹۵۲۶

۱۹۹۸

۹

۲۲۹۷۶۲۲۱

۸۹۵۹۳۲

۱۹۹۷

۱۰

۲۱۳۹۸۲۶۹

۴۲۰۹۲۱

۱۹۹۶

ده عدد اول دوقلوی نخست شناخته شده

اعداد اول دو قلو (Twin primes) اعداد اول به فرم p و p+۲ هستند یعنی تفاضل آنها ۲ است. حدسی وجود دارد که بی‌نهایت عدد اول دو قلو وجود دارد، اما تا به حال اثبات نشده. چون یافتن اعداد اول دوقلو در اصل پیدا کردن دو عدد اول است، بزرگترین اعداد اول دوقلوی شناخته شده نسبت به بزرگترین اعداد اول شناخته شده از گونه‌های دیگر کوچکتر است.

---ردیف---

---عدد اول---

---تعداد ارقام---

---تاریخ کشف---

۱

۲۰۰۳۶۶۳۶۱۳٬۲۱۹۵۰۰۰

۵۸۷۱۱

۲۰۰۷

۲

۲۰۰۳۶۶۳۶۱۳٬۲۱۹۵۰۰۰

۵۸۷۱۱

۲۰۰۷

۳

۱۹۴۷۷۲۱۰۶۰۷۴۳۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰

۵۱۷۸۰

۲۰۰۷

۴

۱۹۴۷۷۲۱۰۶۰۷۴۳۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰

۵۱۷۸۰

۲۰۰۷

۵

۱۰۰۳۱۴۵۱۲۵۴۴۰۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰

۵۱۷۸۰

۲۰۰۶

۶

۱۰۰۳۱۴۵۱۲۵۴۴۰۱۵٬۲۱۷۱۹۶۰

۵۱۷۸۰

۲۰۰۶

۷

۱۶۸۶۹۹۸۷۳۳۹۹۷۵٬۲۱۷۱۹۶۰

۵۱۷۸۰

۲۰۰۵

۸

۱۶۸۶۹۹۸۷۳۳۹۹۷۵٬۲۱۷۱۹۶۰

۵۱۷۷۹

۲۰۰۵

۹

۳۳۲۱۸۹۲۵٬۲۱۶۹۶۹۰

۵۱۰۹۰

۲۰۰۲

۱۰

۳۳۲۱۸۹۲۵٬۲۱۶۹۶۹۰

۵۱۰۹۰

۲۰۰۲

ده عدد اول سوفی جرمین شناخته شده

عدد اول سوفی جرمین (Sophie Germain Primes) عدد اول فرد pای است که۲p+۱ هم اول باشد. این نام گذاری از اسم خانم سوفی جرمین است که قسمت اول آخرین قضیه فرما (Fermat's Last Theorem) (xn+yn=zn هیچ جواب ناصفری برای اعداد صحیح بزرگ‌تر از ۲ ندارد) را برای توانهای تقسیم پذیر بر این گونه اعداد اول اثبات کرد.

آخرین قضیه فرما پس از او توسط اندرو ویلز (Andrew Wiles) به طور کامل اثبات شد.

---ردیف---

---عدد اول---

---تعداد ارقام---

---تاریخ کشف---

۱

۴۸۰۴۷۳۰۵۷۲۵٬۲۱۷۲۴۰۳

۵۱۹۱۰

۲۰۰۷

۲

۱۳۷۲۱۱۹۴۱۲۹۲۱۹۵٬۲۱۷۱۹۶۰

۵۱۷۸۰

۲۰۰۶

۳

۷۰۶۸۵۵۵٬۲۱۲۱۳۰۱

۳۶۵۲۳

۲۰۰۵

۴

۲۵۴۰۰۴۱۱۸۵٬۲۱۱۴۷۲۹

۳۴۵۴۷

۲۰۰۳

۵

۱۱۲۴۰۴۴۲۹۲۳۲۵٬۲۱۰۷۹۹۹

۳۲۵۲۳

۲۰۰۶

۶

۱۱۲۸۸۶۰۳۲۲۴۵٬۲۱۰۸۰۰۰

۳۲۵۲۳

۲۰۰۶

۷

۱۸۹۱۲۸۷۹٬۲۹۸۳۹۵

۲۹۶۲۸

۲۰۰۲

۸

۱۰۴۹۵۷۴۰۰۸۱٬۲۸۳۱۲۵

۲۵۰۳۴

۲۰۰۶

۹

۶۱۰۷۸۱۵۵٬۲۸۲۰۰۲

۲۴۶۹۳

۲۰۰۶

۱۰

۱۲۱۳۸۲۲۳۸۹٬۲۸۱۱۳۱

۲۴۴۳۲

۲۰۰۲

ده عدد فاکتوریل نخست شناخته شده

اعداد اول به فرم n!±۱ را اعداد اول فاکتوریل (factorial primes) گویند.

هر عدد طبیعی مخالف یک که اول نباشد مرکب یا تجزیه پذیر می گوییم.

·        لازم به ذکر است که عدد یک نه اول و نه مرکب است و تنها عدد اول زوج عدد 2 است.

اگر n عددی مرکب باشد می توان گفت:

·        نتیجه: اگر P عددی اول . a و b اعدادی طبیعی باشند، در این صورت:

 

برهان:

چون P عددی اول است بنابراین تنها دو مقسوم علیه متمایز دارد. از اینکه P=ab و a

محقق خانم محمدی